Picard group的意思|示意

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Picard group是代数几何中一个非常重要的概念，通常表示为Pic(X)。它可以被理解为一个代数簇X上的线性等价类，其中等价关系是由代数簇X上的线性等价定义的。换言之，Pic(X)包含了所有$X$上的线性等价类，其中的线性等价关系是由线性等价给定的。

构造一个Picard群，我们需要定义某个代数簇上的“线性等价”关系。在代数几何中，我们通常将两个Divisor(即一个有理函数的零点和极点的和)视为线性等价，如果它们之间差异的divisors对任意合法的曲线积分为0。这两个divisors的集合上的自己将构成Picard群。

更具体地讲，我们将Divisor D定义为一个代数簇X上的有理函数$f(x)$的零点和极点的和，其中极点数足够小，这样就可以使用有理函数的局部展开将它们表示成有理函数的零点或极点，或它们的显式形式- $\sum_{P \in X} n_P [P]$，其中$ n_P $是点P上的正整数。这里$[P]$是指点$P$对应的线性形式，例如[$P$]($f$)表示$f$在$P$处的取值。接着，我们定义两个Divisor $D$和$E$线性等价当且仅当它们的差分别是一个$k(X)$-有理等价（即定义在$k(X)$上的有理函数）的零点和极点之和。这个等价关系通常被称为线性等价。

Picard群的加法是Divisor的加法，在众多的线性等价类之间进行，即将两个Divisor相加，然后在Picard群中考虑等价类。Picard群的标准标志是空间在Picard群中的线性等价类，它是代数几何中一些重要结构的代表，因此它在研究代数簇和她们的显式参数化时非常常见。