partial summation的意思|示意

Partial summation是数学中的一个概念，它是指在数列的部分项之和的特定形式下进行运算。这种运算方式可以帮助我们更轻松地理解数列的性质和趋势。

具体而言，对于一个递增的数列$a_1,a_2,...,a_n$，其部分项之和为：

$$S(n)=a_1+a_2+dots+a_n$$

假设我们有一个递增的数列$b_1,b_2,...,b_n$，并且它的前缀和为$B_1,B_2,...,B_n$，则partial summation可以表示为以下公式：

$$sum_{i=1}^{n} a_ib_i=sum_{i=1}^{n-1}(B_i-B_{i-1})a_i+B_nB_n$$

这个公式可以帮助我们计算数列的一些特定运算，如算术平均数、几何平均数等。

例如，我们可以使用partial summation来计算这个数列的算术平均数：

$$frac{a_1+a_2+dots+a_n}{n}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i$$

用partial summation的方式表示：

$$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i=frac{1}{n}(B_n-(B_0-0))+frac{1}{n}sum_{i=1}^{n-1}(B_i-B_{i-1})a_i$$

其中$B_0=0$，因为$b_0=0$。化简后可以得到：

$$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i=frac{1}{n}B_n+frac{1}{n}sum_{i=1}^{n-1}(B_i-B_{i-1})frac{a_i}{i}$$

这个公式可以更快速地计算数列的平均值，而且使用partial summation的方式还有很多其他应用，有助于简化复杂运算。